Приближенное значение величины и погрешности приближений. Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Введение

Абсолютная погрешность - является оценкой абсолютной ошибки измерения. Вычисляется разными способами. Способ вычисления определяется распределением случайной величины. Соответственно, величина абсолютной погрешности в зависимости от распределения случайной величины может быть различной. Если - измеренное значение, а - истинное значение, то неравенство должно выполняться с некоторой вероятностью, близкой к 1. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то обычно за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Существует несколько способов записи величины вместе с её абсолютной погрешностью.

· Обычно используется запись со знаком ±. Например, рекорд в беге на 100 метров, установленный в 1983 году, равен 9,930±0,005 с .

· Для записи величин, измеренных с очень высокой точностью, используется другая запись: цифры, соответствующие погрешности последних цифр мантиссы, дописываются в скобках. Например, измеренное значение постоянной Больцмана равно 1,380 6488 (13)?10 ?23 Дж/К , что также можно записать значительно длиннее как 1,380 6488?10 ?23 ±0,000 0013?10 ?23 Дж/К .

Относительная погрешность - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или среднему значению измеряемой величины (РМГ 29-99):.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приближённое значение

С избыточным и недостаточным? В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А - точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числам, называется число а , заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, - то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа р по недостатку, а 3,15 - по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Да приближенного числа а называется разность вида

Да = А - а,

где А - соответствующее точное число.

Из рисунка видно, что длина отрезка АВ заключена между 6 см и 7 см.

Значит, 6 - приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) > с недостатком, а 7 - с избытком.

Обозначив длину отрезка буквой у, получим: 6 < у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина отрезка АВ (см. рис. 149) ближе к 6 см, чем к 7 см. Она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых.

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

Если а" есть приближенное значение величины а , то разность Δ = а - а" называется погрешностью приближения *.

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 - 3,8 = -0,044.

На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ , а абсолютной величиной этой погрешности |Δ |. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью . Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ | = | - 0,044| =0,044, а для второго |Δ | = |0,056| = 0,056.

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3 / 2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8 / 5 с точностью до 1 / 5 , поскольку

Если а" < а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3 / 2 есть приближенное значение числа - 8 / 5 c избытком, так как - 3 / 2 > - 8 / 5 .

Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а" и b" , то результат а" + b" будет приближенным значением суммы а + b . Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:

|а + b | < |a | + |b |.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине математика часть 1

Методическое пособие для выполнения практических работ по дисциплине.. для профессий начального профессионального образования и специальностей среднего профессионального образования..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Пояснительная записка
Методическое пособие составлено в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика», разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта третьего поколения п

Пропорции. Проценты.
Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме «Проценты и пропорции». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач на проценты, составление пропорций решить

Пропорция.
Пропорция (от лат. proportio - соотношение, соразмерность), 1) в математике - равенство между двумя отношениями четырёх величин а, в, с,

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2
«Уравнения и неравенства» Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Уравнения и неравенства». 2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Ур

Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Модуль числа а определяется следующим образом: П р и м е р: Решить уравнение. Р е ш е н и е. Если, то и данное уравнение примет вид. Можно записать так:

Уравнения с переменной в знаменателе.
Рассмотрим уравнения вида. (1) Решение уравнения вида (1) основано на следующем утверждении: дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

Рациональные уравнения.
Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) -рациональные выражения. При этом если f(x) и g(x) - целые выражения, то уравнение называют целым;

Решение уравнений методом введения новой переменной.
Суть метода поясним на примере. П р и м е р: Решить уравнение. Р е ш е н и е. Положим, получим уравнение, откуда находим. Задача сводится к решению совокупности уравнений

Иррациональные уравнения.
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня или под знаком возведения в дробную степень. Одним из методов решения таких уравнений является метод воз

Метод интервалов
Пример:Решить неравенство. Решение. ОДЗ: откуда имеем x [-1; 5) (5; +) Решим уравнение Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения.

Упражнения для самостоятельной работы.
3х + (20 – х) = 35,2, (х – 3) - х = 7 – 5х. (х + 2) - 11(х + 2) = 12. х = х, 3у = 96, х + х + х + 1 = 0, – 5,5n(n – 1)(n + 2,5)(n -

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4
«Функции, их свойства и графики» Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме: «Функции, свойства и графики». 2) Рассмотреть алгори

Будет грубой ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с асимптотой.
Пример 3 Построить правую ветвь гиперболы Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Графики обратных тригонометрических функций
Построим график арксинуса Построим график арккосинуса Построим график арктангенса Всего лишь перевернутая ветка тангенса. Перечислим основн

Математические портреты пословиц
Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека н

Построить графики функций а)у=х2 ,у=х2+1 ,у=(х-2)2 б)у=1/х, у=1/(x-2),y=1/x -2 на одной координатной плоскости. Построить графики функций c

Натуральные числа

Свойства сложения и умножения натуральных чисел
a + b = b + a - переместительное свойство сложения (a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения ab = ba

Признаки делимости натуральных чисел
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делитс

Шкалы и координаты
Длины отрезков измеряют линейкой. На линейке (рис. 19) нанесены штрихи. Они разбивают линейку на равные части. Эти части называют делениями. На рисунке 19 длина ка

Рациональные числа
Цели урока: 1) Обобщить теоретические знания по теме «Натуральные числа». 2) Рассмотреть виды и алгоритмы решений задач связанных с понятием натурального числа.

Десятичные дроби. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь.
Десятичная дробь - это другая форма записи дроби со знаменателем Например, . Если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только 2 и 5, то эту дробь можно записать в виде дес

Корень из 2
Допустим противное: рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби, где - целое число, а - натуральное число. Возведём предполагаемое равенство в квадрат: . Отсюда

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.
ПОГРЕШНОСТИ Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется

Базовый уровень
Пример.Вычислить. Решение: . Ответ: 2,5. Пример. Вычислить. Решение: Ответ: 15.

Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип: явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить. Например. 1

Задачи для самостоятельного решения
Отметьте номер правильного ответа: Результат упрощения выражения имеет вид 1. ; 4. ; 2. ; 5. . 3. ; Значение выражения равно 1) 4; 2) ; 3)

Задачи для самостоятельного решения
Найдите значение выражения 1. .2. . 2. . 3. . 4. . 5. .7. . 6.. при. 7.. при. 8.. при. 9. при. 1

Задачи для самостоятельного решения
Вопрос 1. Найдите логарифм 25 по основанию 5. Вопрос 2. Найдите логарифм по основанию 5. Вопрос 3.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 17
«Аксиомы стереометрии и следствия из них» Цель урока: 1) Обобщить теоретические знания

Сахалинской области

«Профессиональное училище № 13»

Методические указания к самостоятельной работе обучающихся

Александровск-Сахалинский

Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.

ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13», - Александровск-Сахалинский, 2012

Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики

Председатель МК

Приближенное значение величины и погрешности приближений.

Тот факт, что а" есть приближенное значение числа а , записывается следующим образом:

а ≈ а" .

* Δ - греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).

Число а" а с точностью до ε , если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε :

|а - а" | < ε .

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с точностью до 0,1, поскольку |3,671 - 3,6| = | 0,071| = 0,071< 0,1.

Аналогично, - 3/2 можно рассматривать как приближенное значение числа - 8/5 с точностью до 1/5 , поскольку

< а , то а" называется приближенным значением числа а с недостатком .

Если же а" > а , то а" называется приближенным значением числа а с избытком.

Например, 3,6 есть приближенное значение числа 3,671 с недостатком, поскольку 3,6 < 3,671, а - 3/2 есть приближенное значение числа - 8/5 c избытком, так как - 3/2 > - 8/5 .

|а + b | < |a | + |b |.

Абсолютная величина суммы любых двух чисел не превышает суммы их абсолютных величин.

Погрешности

Разница между точным числом x и его приближенным значением a называется погрешностью данного приближенного числа. Если известно, что | x - a | < a, то величина a называется предельной абсолютной погрешностью приближенной величины a.

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называется относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример. | 1 - 20 | < | 1 | + | -20|.

Действительно,

|1 - 20| = |-19| = 19,

|1| + | - 20| = 1 + 20 = 21,

Упражнения для самостоятельной работы.

1. С какой точностью можно измерять длины с помощью обыкновенной линейки?

2. С какой точностью показывают время часы?

3. Знаете ли вы, с какой точностью можно измерять веc тела на современных электрических весах?

4. а) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с точностью до 0,01 равно 0,99?

б) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с недостатком с точностью до 0,01 равно 0,99?

в) В каких пределах заключено число а , если его приближенное значение с избытком с точностью до 0,01 равно 0,99?

5 . Какое приближение числа π ≈ 3,1415 лучше: 3,1 или 3,2?

6. Можно ли приближенное значение некоторого числа с точностью до 0,01 считать приближенным значением того же числа с точностью до 0,1? А наоборот?

7 . На числовой прямой задано положение точки, соответствующей числу а . Указать на этой прямой:

а) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с недостатком с точностью до 0,1;

б) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с избытком с точностью до 0,1;

в) положение всех точек, которые соответствуют приближенным значениям числа а с точностью до 0,1.

8. В каком случае абсолютная величина суммы двух чисел:

а) меньше суммы абсолютных величин этих чисел;

б) равна сумме абсолютных величин этих чисел?

9. Доказать неравенства:

a) |a - b | < |a | + |b |; б)* |а - b | > ||а | - | b ||.

Когда в этих формулах имеет место знак равенства?

Литература:

1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012

2. Башмаков, 10 кл. Сборник задач. - М: Издательский центр «Академия», 2008

3. , Мордкович:Справочные материалы: Книга для учашихся.-2-е изд.-М.: Просвещение, 1990

4. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. .-М.: Педагогика,1989

Тема “ ” изучается в 9 классе бегло. И у учащихся, как правило, не до конца формируются навыки ее вычисления.

А ведь с практическим применением относительной погрешности числа , в равно степени как и с абсолютной погрешностью, мы сталкиваемся на каждом шагу.

Во время ремонтных работ измерили (в сантиметрах) толщину m коврового покрытия и ширину n порожка. Получили следующие результаты:

m≈0,8 (с точностью до 0,1);

n≈100,0 (с точностью до 0,1).

Заметим, что абсолютная погрешность каждого из данных измерений не больше 0,1.

Однако 0,1 – это солидная часть числа 0,8 . Как для числа 100 она представляет незначительную ч асть. Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.

Для оценки качества измерения используется относительная погрешность приближенного числа.

Определение.

Относительной погрешностью приближенного числа (значения) называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность договорились выражать в процентах.

Пример 1.

Рассмотрим дробь 14,7 и округлим ее до целых. Также найдем относительную погрешность приближенного числа:

14,7≈15.

Для вычисления относительной погрешности, кроме приближенного значения, как правило, нужно еще знать и абсолютную погрешность. Абсолютная погрешность не всегда бывает известна. Поэтому вычислить невозможно. И в таком случае достаточно бывает указать оценку относительной погрешности.

Вспомним пример, который был приведен в начале статьи. Там были указаны измерение толщины m ковролина и ширина n порожка.

По итогам измерений m ≈0,8 с точностью до 0,1. Можно сказать, что абсолютная погрешность измерения не больше 0,1. Значит, результат деления абсолютной погрешности на приближенное значение (а это и есть относительная погрешность) меньше или равно 0,1/0,8 = 0,125 = 12,5%.

Т. о., относительная погрешность приближения ≤ 12,5%.

Аналогичным образом вычислим относительную погрешность приближения ширины порожка; она не более 0,1/100 = 0,001 = 0,1%.

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с относительной точность до 12,5%, а во втором – с относительной точностью до 0,1%.

Подведем итог.

Абсолютная погрешность приближенного числа - это разность между точным числом x и его приближенным значением a.

Если модуль разности | x – a | меньше некоторого D a , то величину D a называют абсолютной погрешностью приближенного числа a .

Относительная погрешность приближенного числа - это отношение абсолютной погрешности D a к модулю числа a , то есть D a / |a | = d a .

Пример 2.

Рассмотрим известное приближенное значение числа π≈3,14.

Учитывая его значение с точностью до стотысячных долей, можно указать его погрешность 0,00159… (запомнить цифры числа π поможет )

Абсолютная погрешность числа π равна: | 3,14 – 3,14159 | = 0,00159 ≈0,0016.

Относительная погрешность числа π равна: 0.0016/3.14 = 0,00051 = 0,051%.

Пример 3.

Попробуйте самостоятельно вычислить относительную погрешность приближенного числа √2. есть несколько способов, чтобы запомнить цифры числа “квадратный корень из 2″.

Точные и приближенные значения величин

В большинстве случаев числовые данные в задачах приближенные. В условиях задач могут встретиться и точные значения, к примеру результаты счета небольшого числа предметов, некоторые константы и др.

Для обозначения приближенного значения числа употребляют знак приближенного равенства ; читают так: «приближенно равно» (не следует читать: «приблизительно равно»).

Выяснение характера числовых данных – важный подготовительный этап при решении любой задачи.

Приводимые ниже указания могут помочь в распознании точных и приближенных значений чисел:

Точные значения	Приближенные значения
1.Значения ряда переводных множителей перехода от одних единиц измерения к другим (1м = 1000 мм; 1ч = 3600 с) Многие переводные множители измерены и вычислены со столь высокой (метрологической) точностью, что практически их считают сейчас точными.	1. Большинство значений математических величин, заданных в таблицах (корни, логарифмы, значения тригонометрических функций, а также применяемые на практике значение числа и основания натуральных логарифмов (число е))
2.Масштабные множители. В случае если, к примеру, известно, что масштаб равен 1:10000, то числа 1 и 10000 считают точными. В случае если указано, что в 1см – 4 м, то 1 и 4 – точные значения длины	2. Результаты измерений. (Некоторые основные константы: скорость света в вакууме, гравитационная постоянная, заряд и масса электрона и др.) Табличные значения физических величин (плотность вещества, температуры плавления и кипения и др.)
3.Тарифы и цены. (стоимость 1 кВт∙ч электроэнергии – точное значение цены)	3. Проектные данные также являются приближенными, т.к. их задают с некоторыми отклонениями, которые нормируются ГОСТами. (К примеру, по стандарту размеры кирпича: длина 250 6 мм, ширина 120 4 мм, толщина 65 3 мм) К этой же группе приближенных значений чисел относятся размеры, взятые с чертежа
4.Условные значения величин (Примеры: абсолютный нуль температуры -273,15 С, нормальное атмосферное давление 101325 Па)
5.Коэффициенты и показатели степени, встречающиеся в физических и математических формулах ( ; %; и т.д.).
6. Результаты счета предметов (количество аккумуляторов в батарее; число пакетов молока, выпущенных заводом и подсчитанных фотоэлектрическим счетчиком)
7. Заданные значения величин (К примеру, в задаче, «Найти периоды колебаний маятников длиной 1 и 4 м» числа 1 и 4 можно считать точными значениями длины маятника)

Выполните следующие задания, ответ оформите в виде таблицы:

1. Укажите, какие из приведенных значений точные, какие – приближенные:

1) Плотность воды (4 С)………..………………………..……………1000кг/м 3

2) Скорость звука (0 С)………………………………………………….332 м/с

3) Удельная теплоемкость воздуха….……………………………1,0 кДж/(кг∙К)

4) Температура кипения воды…………….……………………………….100 С

5) Постоянная Авогадро….…………………………………..…..6,02∙10 23 моль -1

6) Относительная атомная масса кислорода…………………………………..16

2. Найдите точные и приближенные значения в условиях следующих задач:

1) У паровой машины бронзовый золотник, длина и ширина которого соответственно 200 и 120 мм, испытывает давление 12 МПа. Найдите силу, необходимую для перемещения золотника по чугунной поверхности цилиндра. Коэффициент трения равен 0,10.

2) Определите сопротивление нити накала электрической лампы по следующим маркировочным данным: «220В, 60 Вт».

3. Какие ответы – точные или приближенные – получим при решении следующих задач?

1) Какова скорость свободно падающего тела в конце 15-й секунды, считая промежуток времени указанным точно?

2) Какова скорость шкива, если его диаметр 300 мм, частота вращения 10 об/с? Данные считайте точными.

3) Определите модуль силы . Масштаб 1 см – 50Н.

4) Определите коэффициент трения покоя для тела, находящегося на наклонной плоскости, если тело начинает равномерно скользить по наклону при = 0,675, где - угол наклона плоскости.